by =±1 এই সমীকরণ দুটি নিয়ে নারায়ণ এবং তাঁর পরবর্তী যুগের ভারতীয় গণিতবিদেরা আলোচনা করেছেন…….

দ্বিতীয় ভাস্করাচার্যের পদ্ধতি: ক্ষেপে তুরূপে যদি বা বিশুদ্ধে স্যাতাং ক্রমাস্ যে গুণকারলব্ধী। অভীপ্ সিতক্ষেপবিশুদ্ধিনিম্নে স্বহারতষ্টে ভবতস্তয়োস্তে।

মর্মার্থ হচ্ছে: 1 ধনক্ষেপ বা ঋণক্ষেপ কল্পনা করিয়া ভাজ্য ও ভাজক হইতে যে গুণ ও লব্ধি পাওয়া যায়, তাহাদিগকে অভীষ্ট ক্ষেপ দ্বারা গুণ করিয়া, নিজ নিজ হার দ্বারা তক্ষণ করিলে বাস্তব গুণ ও লব্ধি হইবে।

এ সম্পর্কে দ্বিতীয় ভাস্করাচার্য একটি সুন্দর উদাহরণ দিয়েছেন।

তিনি বলেছেন:
প্রথমোদাহরণে দৃঢ়ভাজ্যাহারয়োং রূপক্ষেপয়ো্যাসঃ ভাজ্যঃ।

১. লীলাবতী-শ্রীরাধাবল্লভ স্মৃতি ব্যাকরণ জ্যোতিস্তীর্থ সম্পাদিত পৃঃ ১০৩।

১৭। হারঃ। ১৫। ক্ষেপ।

অত্র গুণাপ্তী ৭।৮। এতে ত্বিষ্টক্ষেপেণ পঞ্চকেন গুণিতে স্বহারণষ্টে জাতে ৫।৬। অথ রূপশৃদ্ধৌ গুণাপতী। ৮। ৭। তক্ষণাজ্জুদ্ধৌ জাতৌ লব্ধিগুণৌ ১। ৮ এতে পঞ্চগুণে স্বহারতষ্টে চ জাতে ১০। ১১। এবং সর্বত্র।

মর্মার্থ: পূর্বপ্রদর্শিত কুট্টক প্রথমোদাহরণে দৃঢ়ভাজ্য 17, দৃঢ়হার 15, ধনদৃঢ়ক্ষেপ

5; 1 ধনক্ষেপ কল্পনা করিলে বল্লী

এই গুণকে ক্ষেপ 5 দ্বারা গুণ করিলে গুণ 35 ইহাকে গুণের হার 15 দ্বারা তক্ষণ করিলে বাস্তব গুণ 5; লব্ধি ৪ কে ক্ষেপ 5 দ্বারা গুণ করিলে বাস্তব লব্ধি 40 ইহাকে লব্ধির হার 17 দ্বারা তক্ষণ করিলে বাস্তব লব্ধি 6।

ঋণ দৃঢ়ক্ষেপ 5 হইলে, 1 ঋণক্ষেপ কল্পনা করিয়া বল্লী হইতে আগত লব্ধি ৪ গুণ 7 কে “যোগজে তক্ষণাজ্জুদ্ধে গুণান্তী স্তো বিয়োগজে’ এই নিয়মানুসারে নিজ নিজ হার হইতে বিয়োগ করিয়া লব্ধি 9 গুণ ৪। ইহাতে ক্ষেপ 5 দ্বারা গুণ করিয়া নিজ নিজ হার দ্বারা তক্ষণ করিলে 5 ঋণক্ষেপে লব্ধি 11 গুণ 10। এইরূপ সর্বত্র। 1 রূপক্ষেপ কল্পনা করিয়া লব্ধি ও গুণ যথাক্রমে 9। ৪ ইহাদিগকে 5 ঋণক্ষেপ দ্বারা গুণ 45 |40 নিজ নিজ হর 17 |15 দ্বারা তক্ষণ করিলে 11 |10 বাস্তবলব্ধি ও গুণ হইবে। এইরূপ সর্বত্র জানিবে।

by =±1 এই সমীকরণ দুটি নিয়ে নারায়ণ এবং তাঁর পরবর্তী যুগের ভারতীয় গণিতবিদেরা আলোচনা করেছেন।

(গ) by – ax =± c এই সমীকরণ দুটি নিয়ে ব্রহ্মগুপ্ত, দ্বিতীয় ভাস্করাচার্য,

নারায়ণ প্রমুখ আলোচনা করেছেন।

(ঘ) ax + by + cz = d সমীকরণটি থেকে স্পষ্টই বোঝা যাচ্ছে এটি দুই এর অধিক অজ্ঞাত রাশির এক মাত্রার সমীকরণ। এ ধরনের সমাধান করতে গিয়ে ভারতীয়রা দুটি অজ্ঞাতরাশি ব্যতীত বাকীগুলির কোন নির্দিষ্ট মান ধরে তারপর কুট্টক প্রণালীতে সমাধান করেছেন। যেমন দ্বিতীয় ভাস্করাচার্য তার বীজগণিত গ্রন্থের এক জায়গায় বলেছেন: মাণিক্যামলনীলযৌক্তিকমিতিঃ পঞ্চাই ‘সপ্তক্রমাদেকস্যান্যতরস্য সপ্ত নব ষট্ তদ্রত্বসংখ্যা সখে। রূপাণাং নবতিদ্বিষষ্টিরনয়োস্তৌ তুল্যবিত্তৌ তথা বীজজ্ঞ প্রতিরত্নজানি সুমতে মৌল্যানি শীঘ্রংবদ।

অর্থাৎ একটি লোকের নিকট মাণিক্য নীলা এবং মুক্তা যথাক্রমে 5, ৪ এবং 7টি করে আছে, অপর একটি লোকের নিকট যথাক্রমে 7, 9 এবং 6 করে আছে। প্রথম ব্যক্তি 90 টাকা এবং দ্বিতীয় ব্যক্তির 62 হোলে এদের ধনতুল্য হবে। তাহলে ঐ রত্নগুলির পৃথক পৃথক মূল্য কত?

(চলবে)

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩৩০)

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩৩০)