০৫:৫৬ অপরাহ্ন, বুধবার, ১৭ জুন ২০২৬
অস্ট্রেলিয়ার বিপক্ষে ব্যাটিংয়ে বাংলাদেশ, অধিনায়ক হিসেবে নতুন দায়িত্বে হৃদয় ভারতে থমকে থাকা মৌসুমী বৃষ্টি, বৃষ্টির ঘাটতি ৩৫ শতাংশ; কৃষিতে সতর্কতা জোরদার রাম মন্দিরের অনুদান কেলেঙ্কারি নিয়ে তোলপাড়, উচ্চ আদালতের বিচারকের তত্ত্বাবধানে তদন্ত দাবি কংগ্রেসের তৃণমূলে শক্তি প্রদর্শন রিতব্রতের, সমর্থন বেড়ে ৬৫ বিধায়ক দাবি; ফ্লোর টেস্টের চ্যালেঞ্জ তৃণমূলে ভাঙনের জল্পনা, বিদ্রোহী এমপিদের আবেদনে অবস্থান ব্যাখ্যার আহ্বান স্পিকারের ‘ডোনাল্ড ট্রাম্প’ মহিষ এখন ঢাকার চিড়িয়াখানায়, বিশ্বজুড়ে ভাইরাল বাংলাদেশের অ্যালবিনো মহিষ বিটিএস-মাডোনা-শাকিরা একসঙ্গে, বিশ্বকাপ ফাইনালে ইতিহাসের প্রথম হাফটাইম শো দৃশ্যম ৩ আগামীকাল অ্যামাজন প্রাইমে, ৩৩০ কোটি রুপির ব্লকবাস্টার এবার ঘরে বসেই দেখুন রাইজের নতুন অ্যালবাম ‘II’ প্রথম দিনেই ৯ লাখ কপি বিক্রি, ‘Do Your Dance’ এখন বিশ্বজুড়ে ট্রেন্ডিং চার বছর পর মাঠে বিটিএস, পুসানে দুই রাতে ১,১০,০০০ দর্শক ঝড় তুলল

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩৫২)

ঐ ঋণরাশিকে ধন ঋণ উভয়বিধ কল্পনা করে অব্যক্তমান দুই প্রকার সাধন করবে….

এই শ্লোকটির মর্মার্থ হচ্ছে যদি ময়ূরের সংখ্যা ধরা যায় তাহলে

 

অর্থাৎ ধরণের সমীকরণ পাওয়া গেল এবং এটির সমাধানে

তিনি বলেছেন:

স্বাংশাপ্তহরাদুনাচ্চতুর্গুণাগ্রেণ তম্বরেণ হতাত।
মূলং যোজ্যং ত্যাজ্যং তচ্ছেদে তন্দলং বিত্তম্।

এটির মর্মার্থ হচ্ছে

অর্থাৎ এখানে দুটি বীজের সাক্ষাত মিলছে।

এছাড়াও তিনি দ্বিয়াত সমীকরণের অজ্ঞাত রাশি নির্ণয় করার অন্য সূত্র দিয়েছেন।

শ্রীপতি (১০৩৯ত্রীঃ) সিদ্ধান্ত শেখরে যা বলেছেন তার মর্মার্থ হচ্ছে ax²+bx=c

দ্বিঘাত সমীকরণটির অজ্ঞাত রাশি

দ্বিতীয় ভাস্করাচার্য তাঁর বীজগণিতে বলেছেন:-

“অব্যক্তবর্গাদি যদাহবশেষং পক্ষৌ তদষ্টেন নিহত্য কিঞ্চিত। ক্ষেণ্যং তয়োর্যেন পদপ্রদঃ স্যাদব্যক্তপক্ষত্য পদেন ভূয়ঃ। ব্যক্তশস্য পক্ষশ্য সমক্রিয়ৈবমব্যক্তমানং খলু লভ্যেতে তত। ন নির্বহশ্চেদ্ধনবর্গ বর্গেষেবং তদা জেয়মিদং স্ববুদ্‌ধ্যা। অব্যক্ত মূলর্ণগরূপতোহল্লং ব্যত্তস্থ্য পক্ষ্য পদং যদি শ্যাত। ঋণং ধনং তচ্চ বিধায় সাধ্যমব্যক্তমানং দ্বিবিধং কচিতস্যাত্।”

অর্থাৎ যখন সমীকরণ স্থলে অব্যক্তবর্গ প্রভৃতি অবশিষ্ট থাকবে তখন কোন ইষ্ট সংখ্যা দিয়ে উভয় পক্ষকে গুণ করে কোন কিছু যোগ করবে যার ফলে রাশি মূলপ্রদ হয়। যদি অব্যক্তের সঙ্গে সংশ্লিষ্ট মূলাত্মক ঋণ রাশির চেয়ে ব্যক্তপক্ষের মূল কম হয় তাহলে ঐ ঋণরাশিকে ধন ঋণ উভয়বিধ কল্পনা করে অব্যক্তমান দুই প্রকার সাধন করবে।

দ্বিতীয় ভাস্করাচার্যের বহু উদাহরণে দ্বিঘাতে সমীকরণের দুটি বীজের কথা উল্লেখ করেছেন। তাঁর বীজগণিতের কোন একজায়গায় x²-55-250 সমীকরণটি দেওয়া আছে যেটি সমাধান করলে দুটি বীজ পাওয়া যাবে। এ সম্পর্কে পদ্মনাভের একটি উদাহরণ উদ্ধৃতি দিয়েছেন। উদ্ধৃতিটি হচ্ছে:

ব্যক্ত পক্ষশ্য চেনমূলমন্যপক্ষর্ণরূপতঃ
অল্পং ধনর্ণগং কৃত্বা দ্বিবিধোত,পদ্মতে মিতি।

টীকা নিষ্প্রোয়ন।

(চলবে)

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩৫১)

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩৫১)

জনপ্রিয় সংবাদ

অস্ট্রেলিয়ার বিপক্ষে ব্যাটিংয়ে বাংলাদেশ, অধিনায়ক হিসেবে নতুন দায়িত্বে হৃদয়

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩৫২)

০৩:০০:০৮ পূর্বাহ্ন, শুক্রবার, ১৬ জানুয়ারী ২০২৬

ঐ ঋণরাশিকে ধন ঋণ উভয়বিধ কল্পনা করে অব্যক্তমান দুই প্রকার সাধন করবে….

এই শ্লোকটির মর্মার্থ হচ্ছে যদি ময়ূরের সংখ্যা ধরা যায় তাহলে

 

অর্থাৎ ধরণের সমীকরণ পাওয়া গেল এবং এটির সমাধানে

তিনি বলেছেন:

স্বাংশাপ্তহরাদুনাচ্চতুর্গুণাগ্রেণ তম্বরেণ হতাত।
মূলং যোজ্যং ত্যাজ্যং তচ্ছেদে তন্দলং বিত্তম্।

এটির মর্মার্থ হচ্ছে

অর্থাৎ এখানে দুটি বীজের সাক্ষাত মিলছে।

এছাড়াও তিনি দ্বিয়াত সমীকরণের অজ্ঞাত রাশি নির্ণয় করার অন্য সূত্র দিয়েছেন।

শ্রীপতি (১০৩৯ত্রীঃ) সিদ্ধান্ত শেখরে যা বলেছেন তার মর্মার্থ হচ্ছে ax²+bx=c

দ্বিঘাত সমীকরণটির অজ্ঞাত রাশি

দ্বিতীয় ভাস্করাচার্য তাঁর বীজগণিতে বলেছেন:-

“অব্যক্তবর্গাদি যদাহবশেষং পক্ষৌ তদষ্টেন নিহত্য কিঞ্চিত। ক্ষেণ্যং তয়োর্যেন পদপ্রদঃ স্যাদব্যক্তপক্ষত্য পদেন ভূয়ঃ। ব্যক্তশস্য পক্ষশ্য সমক্রিয়ৈবমব্যক্তমানং খলু লভ্যেতে তত। ন নির্বহশ্চেদ্ধনবর্গ বর্গেষেবং তদা জেয়মিদং স্ববুদ্‌ধ্যা। অব্যক্ত মূলর্ণগরূপতোহল্লং ব্যত্তস্থ্য পক্ষ্য পদং যদি শ্যাত। ঋণং ধনং তচ্চ বিধায় সাধ্যমব্যক্তমানং দ্বিবিধং কচিতস্যাত্।”

অর্থাৎ যখন সমীকরণ স্থলে অব্যক্তবর্গ প্রভৃতি অবশিষ্ট থাকবে তখন কোন ইষ্ট সংখ্যা দিয়ে উভয় পক্ষকে গুণ করে কোন কিছু যোগ করবে যার ফলে রাশি মূলপ্রদ হয়। যদি অব্যক্তের সঙ্গে সংশ্লিষ্ট মূলাত্মক ঋণ রাশির চেয়ে ব্যক্তপক্ষের মূল কম হয় তাহলে ঐ ঋণরাশিকে ধন ঋণ উভয়বিধ কল্পনা করে অব্যক্তমান দুই প্রকার সাধন করবে।

দ্বিতীয় ভাস্করাচার্যের বহু উদাহরণে দ্বিঘাতে সমীকরণের দুটি বীজের কথা উল্লেখ করেছেন। তাঁর বীজগণিতের কোন একজায়গায় x²-55-250 সমীকরণটি দেওয়া আছে যেটি সমাধান করলে দুটি বীজ পাওয়া যাবে। এ সম্পর্কে পদ্মনাভের একটি উদাহরণ উদ্ধৃতি দিয়েছেন। উদ্ধৃতিটি হচ্ছে:

ব্যক্ত পক্ষশ্য চেনমূলমন্যপক্ষর্ণরূপতঃ
অল্পং ধনর্ণগং কৃত্বা দ্বিবিধোত,পদ্মতে মিতি।

টীকা নিষ্প্রোয়ন।

(চলবে)

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩৫১)

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩৫১)