প্রদীপ কুমার মজুমদার 
পুনঃ পুনঃ সমীকরণ করে শেষ সময়ে যদি শেষ বর্ণের মান ভিন্ন হয় তাহলে সেই স্থানে কুড়কের নিয়মের ভাজ্য হারের বর্ণদ্বয়ের মান…
এক মাত্রার অনির্ণেয় সহ সমীকরণ
প্রথম মাত্রার অনির্ণেয় সহ সমীকরণ সম্পর্কে ভারতীয় গণিতবিদেরা ব্যাপক আলোচনা করেছেন। এদের মধ্যে প্রথম আর্যভট, প্রথম ভাস্করাচার্য, ব্রহ্মগুপ্ত, শ্রীপতি, দ্বিতীয় ভাস্করাচার্য প্রমুখ গণিতবিদদের নাম উল্লেখযোগ্য। এ’রা প্রধানতঃ নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সমাধান করেন।
(ক) a1x + b1y + c1z + d1 w = w
a2x + b2y + c2 z + d2w = w
a3x + b3y + c3z + d3 w = w
a4x + b4y + c4z + d4w = w
(খ) N = a1x1 + r1 = a2x2+ r2 = ………………………………..x n +r n .
(গ) βy1 =∝ 1 x ± y1
βy2= ∝ 2x ±y2
βy3 = ∝3x ±y3
(ঘ) βy1 =∝ 1 x ± y1
βy2= ∝ 2x ±y2
βy3 = ∝3x ±y3
(ঙ) x±∝ = s ²
x ± β =12
(ক) দ্বিতীয় ভাস্করাচার্য এই ধরনের সমীকরণের জন্য উদাহরণসহ ব্যাপক আলোচনা করেছেন। তিনি বলেছেন:
“আক্ষং বর্ণং শোষয়েদন্যপক্ষাদ্যান। রূপাণ্য্যতশ্চাদ্মভক্তে। পক্ষে হ্যস্মিন্নাচ্চবর্ণোন্মিতিঃ সাদ্বর্ণবৈশ্যকক্সোস্মিতীনাং বহুত্বে। সমীকৃতচ্ছেদগমে তু তাভ্যস্তদন্যবর্ণোন্বিতয়ঃ প্রসাধ্যাঃ। অন্ত্যোক্সিতৌ কুটবিধের্গনাপ্তী তে ভাজ্যতন্তাজকবর্ণমানে। অন্ত্যেহপি ভাজ্যে যদি সন্তি বর্ণাস্তম্মানমিষ্টং পরিকল্পা সাধ্যে। বিলোমকোত, খাপনতোহ্যবর্ণমানানি ভিন্নং যদি মানমেবম্। ভূয়ঃ কাৰ্য্যঃ কুট্টকোহত্রান্ত্যবর্ণং তেনোত, খাপ্যোত থাপযেদ্ব্যস্তমা্যান্।”
এ প্রসঙ্গে শ্রীপতি সিদ্ধান্ত শেখরে যা বলেছেন তা দ্বিতীয় ভাস্করাচার্যের উক্তির প্রায় কাছাকাছি। তিনি বলেছেন: (সিদ্ধান্ত শেখর ২য় ওখ পৃঃ ১০৯)
আদ্য বর্ণং প্রোজ ভ্য পক্ষাতকুতোহপি ত্যক্ত।
শেষান্যতশ্চাদ্যভক্তে প্রাহুস্তজ,
জ্ঞান্তা মিতীরাহুরেবং কার্যাজ্বল্যচ্ছেদনাভিশ্চভূয়ঃ ॥
একোন্মানে কুট্টকঃ স্ন্যাত, প্রমাণং
তারুন্যনি স্বাঃ প্রতীপাত্ততশ্চ
কুট্টাকারে ভাজ্যবর্ণস্থ মানং
তস্মিন্ লব্ধং হারবর্ণ চাহুঃ।
এটির মর্মার্থ হচ্ছে “যে স্থানে ২, ৩, ৪ প্রভৃতি অব্যক্ত বর্ণ থাকবে, সেই সকল স্থানে সমীকরণ অনেক হবে। এবং তাদের পুনঃ পুনঃ সমীকরণ করে শেষ সময়ে যদি শেষ বর্ণের মান ভিন্ন হয় তাহলে সেই স্থানে কুড়কের নিয়মের ভাজ্য হারের বর্ণদ্বয়ের মান। (ব্যক্ত) আনয়ন করবে, অতঃপর ঐ বর্ণমান (ব্যক্ত রাশি) দ্বারা উপরের সমীকরণ সমূহকে পরপর উত্থাপন দেবে, যদি উত্থাপন স্থানে পুনঃ বর্ণমান ভগ্নাংশ হয়, তাহলে সেই স্থানে পুনঃ কুট্টকের দ্বারা অভিন্ন মান আনয়ণ করবে, এইরূপ প্রথম বিলোমক্রমে উত্থাপন দিলে প্রত্যেক বর্ণের মানগুলি অভিন্ন হবে।
(চলবে)
