০৩:০৫ পূর্বাহ্ন, শনিবার, ১৫ অগাস্ট ২০২৬
২০২৭ সালে ৬ শতাংশ প্রবৃদ্ধির লক্ষ্য ইন্দোনেশিয়ার, কমছে বাজেট ঘাটতিও চীনে ভক্সওয়াগেনের ঘুরে দাঁড়ানোর পরিকল্পনায় নতুন শঙ্কা, কমছে বিক্রি ডানপন্থী উত্থানে এশিয়ায় অস্ট্রেলিয়ার অবস্থান ক্ষতিগ্রস্ত হওয়ার আশঙ্কা থাইল্যান্ডে অস্ত্র নিয়ন্ত্রণের নতুন উদ্যোগ, তবু বড় প্রশ্নে অবৈধ অস্ত্রের সহজলভ্যতা রেকিয়াভিকে ‘যুদ্ধের দ্বারপ্রান্তে’: পারমাণবিক অস্ত্র বিলোপের স্বপ্নে রিগ্যান-গর্বাচেভ গ্যাস সংকটে হবিগঞ্জে ১৭১ কারখানা বন্ধ, কর্মহীন লক্ষাধিক শ্রমিক কুষ্টিয়ায় বালুবাহী যান পদ্মায়, নিখোঁজ ৮ বছরের শিশু ১৫ আগস্ট ঘিরে ঢাকায় কঠোর নিরাপত্তা, মাঠে ডিএমপির বিশেষ ইউনিট নেপালের নতুন রাজনৈতিক তারকার আলো কেন ম্লান হয়ে আসছে সেন্ট্রাল পার্কে শেক্সপিয়রের ‘শীতের কাহিনি’, পুরোনো আবহে নতুন মুগ্ধতা

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩২০)

উপাস্তিমাঙ্ক দ্বারা তাহার উপরিস্থ অঙ্ককে গুণ করিবে এবং গুণফলে অন্ত্যাঙ্কযোগ করিয়া অত্যাঙ্ক ত্যাগ করিবে।

দ্বিতীয় ভাস্করাচার্যের পদ্ধতি

ভাজ্যোহার: ক্ষেপকশ্চাপাঃ কেনাপ্যাদৌ সংস্তবে কুট্টকার্থম্। যেন চ্ছিন্নৌ ভাজ্যহারৌ ন তেন ক্ষেপশ্চৈতচ্ছু ষ্টমুদ্দিষ্টমের। পরস্পরং ভাজিতয়োর্যয়োর্য: শেষস্তয়োঃ স্বাদপবর্তনং সঃ। তেনাপবর্তেন বিভাজিতৌ যৌ তৌ ভাজ্যহারৌ দৃঢ়সংজ্ঞকৌ স্তঃ মিথোভজেত্তৌ দৃঢ়ভাজ্যহারৌ যাবদ্বিভাজ্যে ভবতীহ রূপম,। ফলান্যবোধগুদ-ধোনিবাঃ ক্ষেপস্ততঃ শূন্যমুপান্তিমেন।

স্বোর্দ্ধে হতেহস্তোন যুতে তদন্ত্যং ত্যজেম্মুহুঃ স্যাদিতি রাশিযুগ্মম্। উর্দ্ধো বিভাজ্যেন দৃড়েন তইঃ ফলং গুণঃ স্যাদপরো হরেণ। এবং তদৈবাত্র যদা সমাস্তাঃ স্যলব্ধয়শ্চেদ্বিষ-মাওদানীম্। যদাগতৌ লব্ধিগুণৌ বিশোধ্যৌ স্বতক্ষণাচ্ছেযমিতৌ তু তৌ স্তঃ।

মর্মার্থ: ভাজ্য, হার ও ক্ষেপের অপবর্তন সম্ভব হইলে, কুট্রক নিরূপণ করিবার জন্য প্রথমে কোনও সমান অঙ্ক দ্বারা ভাজ্য, হার ও ক্ষেপের অপবর্তন করিবে। যে অঙ্ক দ্বারা ভাজ্য ও হারের অপবর্তন করা যায় যদি তদ্বারা ক্ষেপের অপবর্তন করা না যায়, তবে উদাহরণকে দুষ্ট জানিবে। দুইটি রাশিকে পরস্পর ভাগ করিলে শেষে যে ভাজক দ্বারা নিঃশেষ হয়, সেই ভাজকাঙ্কই রাশিদ্বয়ের বৃহত্তম অপবর্তন। এই বৃহত্তমা-পর্তন রাশি দ্বারা রাশিদ্বয়কে অপবত্তিত করিলে তাহাদিগকে অপর কোন সমান সংখ্যা দ্বারা অপবর্তন করা যায় না, এজন্য তাহারা দৃঢ় হইয়া থাকে।

ভাজ্য ও হারকে এইরূপ দৃঢ় ভাজ্য ও দৃঢ় হারে পরিণত করিবে। এই অপবর্তনাঙ্ক দ্বারা ক্ষেপকেও অপবর্তিত করিয়া দৃঢ় ক্ষেপ করিবে। ভাজ্য স্থানে শেষ ১ না হওয়া পর্যন্ত এই দৃঢ় ভাজ্য ও দৃঢ় হারকে পরস্পর ভাগ করিয়া ভাগফলগুলি অধঃ অধঃ শ্রেণীবদ্ধভাবে স্থাপন করিবে। এই সকল ফল শ্রেণীর নীচে ক্ষেপ ও ক্ষেপের নীচে শূন্য স্থাপন করিবে। এই শ্রেণীর নাম বল্লী। বল্লীর অধস্থিত অঙ্ক অত্যাঙ্ক ও তাহার উপরিস্থ অঙ্ক উপান্তিমাঙ্ক নামে কথিত। উপাস্তিমাঙ্ক দ্বারা তাহার উপরিস্থ অঙ্ককে গুণ করিবে এবং গুণফলে অন্ত্যাঙ্কযোগ করিয়া অত্যাঙ্ক ত্যাগ করিবে।

তৎপরে বর্তমান উপান্তিমাঙ্ক দ্বারা তাহার উপরিস্থ অঙ্ককে গুণ ও গুণফলে বর্তমান অত্যাঙ্ক যোগ করিয়া অত্যাঙ্ক ত্যাগ করিবে। এইরূপ করিতে করিতে যে দুইটি রাশি উৎপন্ন হইবে, তাহার উর্দ্ধস্থ রাশির নাম লব্ধি বা ফল অধঃস্থিত রাশির নাম গুণ। যদি উর্দ্ধস্ব রাশি দৃঢ় ভাজ্য হইতে অধিক হয়, তবে তাহাকে দৃঢ় ভাজ্য দ্বারা ভাগ করিলে যাহা শেষ থাক তাহা ফল এবং অধঃ রাশি দৃঢ় হার হইতে অধিক হইলে, তাহাকে দৃঢ় হার দ্বারা ভাগ করিয়া যাহা শেষ থাকিবে তাহা গুণ।

(চলবে)

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩১৯)

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩১৯)

জনপ্রিয় সংবাদ

২০২৭ সালে ৬ শতাংশ প্রবৃদ্ধির লক্ষ্য ইন্দোনেশিয়ার, কমছে বাজেট ঘাটতিও

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩২০)

০৩:০০:৪৪ পূর্বাহ্ন, বুধবার, ৫ নভেম্বর ২০২৫

উপাস্তিমাঙ্ক দ্বারা তাহার উপরিস্থ অঙ্ককে গুণ করিবে এবং গুণফলে অন্ত্যাঙ্কযোগ করিয়া অত্যাঙ্ক ত্যাগ করিবে।

দ্বিতীয় ভাস্করাচার্যের পদ্ধতি

ভাজ্যোহার: ক্ষেপকশ্চাপাঃ কেনাপ্যাদৌ সংস্তবে কুট্টকার্থম্। যেন চ্ছিন্নৌ ভাজ্যহারৌ ন তেন ক্ষেপশ্চৈতচ্ছু ষ্টমুদ্দিষ্টমের। পরস্পরং ভাজিতয়োর্যয়োর্য: শেষস্তয়োঃ স্বাদপবর্তনং সঃ। তেনাপবর্তেন বিভাজিতৌ যৌ তৌ ভাজ্যহারৌ দৃঢ়সংজ্ঞকৌ স্তঃ মিথোভজেত্তৌ দৃঢ়ভাজ্যহারৌ যাবদ্বিভাজ্যে ভবতীহ রূপম,। ফলান্যবোধগুদ-ধোনিবাঃ ক্ষেপস্ততঃ শূন্যমুপান্তিমেন।

স্বোর্দ্ধে হতেহস্তোন যুতে তদন্ত্যং ত্যজেম্মুহুঃ স্যাদিতি রাশিযুগ্মম্। উর্দ্ধো বিভাজ্যেন দৃড়েন তইঃ ফলং গুণঃ স্যাদপরো হরেণ। এবং তদৈবাত্র যদা সমাস্তাঃ স্যলব্ধয়শ্চেদ্বিষ-মাওদানীম্। যদাগতৌ লব্ধিগুণৌ বিশোধ্যৌ স্বতক্ষণাচ্ছেযমিতৌ তু তৌ স্তঃ।

মর্মার্থ: ভাজ্য, হার ও ক্ষেপের অপবর্তন সম্ভব হইলে, কুট্রক নিরূপণ করিবার জন্য প্রথমে কোনও সমান অঙ্ক দ্বারা ভাজ্য, হার ও ক্ষেপের অপবর্তন করিবে। যে অঙ্ক দ্বারা ভাজ্য ও হারের অপবর্তন করা যায় যদি তদ্বারা ক্ষেপের অপবর্তন করা না যায়, তবে উদাহরণকে দুষ্ট জানিবে। দুইটি রাশিকে পরস্পর ভাগ করিলে শেষে যে ভাজক দ্বারা নিঃশেষ হয়, সেই ভাজকাঙ্কই রাশিদ্বয়ের বৃহত্তম অপবর্তন। এই বৃহত্তমা-পর্তন রাশি দ্বারা রাশিদ্বয়কে অপবত্তিত করিলে তাহাদিগকে অপর কোন সমান সংখ্যা দ্বারা অপবর্তন করা যায় না, এজন্য তাহারা দৃঢ় হইয়া থাকে।

ভাজ্য ও হারকে এইরূপ দৃঢ় ভাজ্য ও দৃঢ় হারে পরিণত করিবে। এই অপবর্তনাঙ্ক দ্বারা ক্ষেপকেও অপবর্তিত করিয়া দৃঢ় ক্ষেপ করিবে। ভাজ্য স্থানে শেষ ১ না হওয়া পর্যন্ত এই দৃঢ় ভাজ্য ও দৃঢ় হারকে পরস্পর ভাগ করিয়া ভাগফলগুলি অধঃ অধঃ শ্রেণীবদ্ধভাবে স্থাপন করিবে। এই সকল ফল শ্রেণীর নীচে ক্ষেপ ও ক্ষেপের নীচে শূন্য স্থাপন করিবে। এই শ্রেণীর নাম বল্লী। বল্লীর অধস্থিত অঙ্ক অত্যাঙ্ক ও তাহার উপরিস্থ অঙ্ক উপান্তিমাঙ্ক নামে কথিত। উপাস্তিমাঙ্ক দ্বারা তাহার উপরিস্থ অঙ্ককে গুণ করিবে এবং গুণফলে অন্ত্যাঙ্কযোগ করিয়া অত্যাঙ্ক ত্যাগ করিবে।

তৎপরে বর্তমান উপান্তিমাঙ্ক দ্বারা তাহার উপরিস্থ অঙ্ককে গুণ ও গুণফলে বর্তমান অত্যাঙ্ক যোগ করিয়া অত্যাঙ্ক ত্যাগ করিবে। এইরূপ করিতে করিতে যে দুইটি রাশি উৎপন্ন হইবে, তাহার উর্দ্ধস্থ রাশির নাম লব্ধি বা ফল অধঃস্থিত রাশির নাম গুণ। যদি উর্দ্ধস্ব রাশি দৃঢ় ভাজ্য হইতে অধিক হয়, তবে তাহাকে দৃঢ় ভাজ্য দ্বারা ভাগ করিলে যাহা শেষ থাক তাহা ফল এবং অধঃ রাশি দৃঢ় হার হইতে অধিক হইলে, তাহাকে দৃঢ় হার দ্বারা ভাগ করিয়া যাহা শেষ থাকিবে তাহা গুণ।

(চলবে)

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩১৯)

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-৩১৯)