প্রদীপ কুমার মজুমদার 
প্রথম পদের দ্বিগুণিতের সহিত সাধারণ অন্তর বিয়োগ দিয়ে ঐ বিয়োগফলের বর্গ লও…..
দ্বিঘাত সমীকরণ
দ্বিঘাত সমীকরণ বলতে আধুনিক বীজগণিতে ax²+bx+c=0 ধরণের সমীকরণের কথাই ধরা হয়ে থাকে।প্রাচীনকালে এ ধরণের সমীকরণ সাক্ষাৎ মেলে সে কথা আগেই বলেছি।পঞ্চম শতাব্দীর শেষ দশক থেকে এ ধরণের সমীকরণের সমাধান কল্পে বিস্তৃত আলোচনা করা হয়েছে।
যাঁরা এ নিয়ে আলোচনা করেছেন তাদের মধ্যে প্রথম আর্যভট (৪৯৯ খ্রীঃ), দ্বিতীয় আর্যভট (১৫০ গ্রীঃ), ব্রহ্মগুপ্ত (৬২৮ খ্রীঃ), শ্রীধরাচার্য (৭৫০ খ্রীঃ), মহাবীরাচার্য (৮৫০ খ্রীঃ) শ্রীপতি (১০৩৯ খ্রীঃ), দ্বিতীয় ভাস্করাচার্য (১১৫০ খ্রীঃ) প্রমুখের নাম উল্লেখযোগ্য। প্রথম আর্যভট সমান্তর প্রগতির পদসংখ্যা নির্ণয় করতে গিয়ে এ ধরণের সমীকরণের অজ্ঞাত রাশিটি কেমনভাবে বের করতে হবে সে কথা বলেছেন।
তিনি আর্যভটীয়ের গণিতপাদের ২০-তম শ্লোকে বলেছেন
“গচ্ছোহষ্টোত্তর গুণিতদ্বিগুণাদাত্ত বিশেষবর্গযুতাত।
মূলং দ্বিগুণাগ্যনং স্বোত্তরভজিতং সরূপাধম্ ॥”
অর্থাৎ (যদি কোন সমান্তর প্রগতির যোগফল, প্রথমপদ ও সাধারণ অন্তর জানা থাকে তাহলে পদসংখ্যা এইভাবে পাওয়া যাবে) সাধারণ অন্তরের ৮ গুণ দিয়ে যোগফলকে গুণ কর।
প্রথম পদের দ্বিগুণিতের সহিত সাধারণ অন্তর বিয়োগ দিয়ে ঐ বিয়োগফলের বর্গ লও। প্রথমোক্ত গুণফলের সহিত এই বর্গফল যোগ কর। মূল গ্রহণ করার পর প্রথম পদের দ্বিগুণ বিয়োগ কর। তারপর সাধারণ অন্তর দিয়ে ভাগ দাও। অতঃপর সমগ্রফলের সহিত এক (১) যোগ করে অর্ধেক লও।
প্রথম আর্যভট ax ² + bx = c ধরণের সমীকরণের সমাধানের কথাও বলেছেন।
তিনি গণিতপাদের ২৫-তম শ্লোকে বলেছেন
“মূলফলং সফলং কালমূলগুণমর্ধমূলকৃতিযুক্তম্।
মূলং মূলার্ধোনং কালহৃতং স্যাত স্বমূলফলম্।
(চলবে)
