ঋণাত্মকটি ধনাত্মক ও ধনাত্মকটি ঋণাত্মক হবে।

দ্বিতীয় ভাস্করাচার্য এ’দের কথাই পুনরাবৃত্তি করেছেন।

বিয়োগ সম্পর্কে ব্রহ্মগুপ্ত ব্রাহ্মস্ফুটে বলেছেন-

ধনয়োধনমৃণয়ণয়োধনর্ণ য়োরন্তরং সমৈকাংখম্

ঋণমৈক্যং চ ধনমুণধন শূন্যুয়োঃ শূন্যুয়োঃ শূন্যম্

অর্থাৎ বৃহৎ থেকে ক্ষুদ্র বিয়োগ করলে ধনাত্মক, ধনাত্মক থেকে ঋণাত্মক বিয়োগ দিলে ধনাত্মক, আবার ক্ষুদ্র থেকে বৃহৎ বিয়োগ দিলে বিপরীত হবে অর্থাৎ ঋণাত্মকটি ধনাত্মক ও ধনাত্মকটি ঋণাত্মক হবে। ঋণাত্মক থেকে ধনাত্মক বিয়োগ অথবা ধনাত্মক থেকে ঋণাত্মক বিয়োগ দিতে গেলে যোগ করতে হয়। মহাবীর, শ্রীপতি, ভাস্করাচার্য (দ্বিতীয়) প্রায় একই কথার পুনরাবৃত্তি করেছেন।

গুণের নিয়ম সম্পর্কে ব্রহ্মগুপ্ত বলেছেন-

ধনাত্মক ও ঋণাত্মক রাশিদ্বয়েয় গুণফল ঋণাত্মক, দুটি ঋণাত্মক রাশির গুণফল ধনাত্মক, দুটি ধনাত্মক রাশির গুণফল ধনাত্মক। অর্থাৎ এটিকে আধুনিক গণিতের ভাষায় প্রকাশ করলে দাঁড়ায়

ax(-b)ab, axb=ab, ax(-b)=ab.

মহাবীর গণিতসারসংগ্রহে, শ্রীপতি সিদ্ধান্ত শেখরে এবং দ্বিতীয় ভাস্করাচার্য বীজগণিতে এই একই কথা বলেছেন।
ভাগ সম্পর্কে ব্রহ্মগুপ্ত বলেছেন:

ধনভক্তং ধনমুণহৃতষুণং ধনং ভবতি থং খভক্তৎ থম্।
ভক্তযুণেন ধনম্নণং ধনেন হৃতমুণমৃণং ভবতি।

অর্থাৎ “ধনাত্মককে ধনাত্মক দিয়ে অথবা ঋণাত্মককে ঋণাত্মক দিয়ে ভাগ দিলে ভাগফল ধনাত্মক হবে।” কিন্তু ধনাত্মক রাশিকে ঋণাত্মক বা ঋণাত্মক রাশিকে ধনাত্মক দিকে ভাগ দিলে ঋণাত্মক ভাগফল হবে। আধুনিক গণিতে প্রকাশ করলে দাড়ায়:

শ্রীপতি, দ্বিতীয় ভাস্করাচার্য এই একই সূত্র তাঁদের গ্রন্থে উল্লেখ করেছেন।

উদঘাত, ও অবঘাতন সম্পর্কে ব্রহ্মগুপ্ত, শ্রীপতি মহাবীর, দ্বিতীয় ভাস্করাচার্য প্রমুখেরা রীতিমত আলোচনা করেছেন। এ সম্পর্কে ব্রহ্মগুপ্ত বলেছেন-

“খোদ্ধৃত মৃণং ধনং বা তচ্ছেদং খয়ণধনবিভক্তং বা

ঋণাধনয়ো বর্গ স্বংথং খস্ত্য পদং কৃতির্বত, তত,।”

অর্থাৎ ধনাত্মক অথবা ঋণাত্মক রাশির বর্গ ধনাত্মক।

মহাবীর গণিত সার সংগ্রহে বলেছেন:

ধনং ধনর্ণয়োর্বগৌ মূলে স্বর্ণে তয়োঃ ক্রমাত।
ঋনং স্বরূপতোহবগো যতস্তস্মান্ন তত পদম্।

অর্থাৎ ধনাত্মক বা ঋণাত্মক রাশির বর্গ ধনাত্মক। এদের বর্গমূল ধনাত্মক বা ঋণাত্মক কিন্তু ঋণাত্মক রাশির বর্গমূল হতে পারে না।

(চলবে)

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-২৮০)

প্রাচীন ভারতে গণিতচর্চা (পর্ব-২৮০)